Um die Antwort gleich vorweg zu nehmen: Nein, Du kannst nicht verlangen, dass die Gegenpartei einen anderen Anwalt nehmen muss. Jede Seite ist grundsätzlich frei in der Wahl der Rechtsvertretung.

So der Zivilstand in deinem Profil korrekt ist, muten mich Deine weiteren Ausführungen doch etwas seltsam an:
Ich interpretiere mal frei: Die Vaterschaft als solche wurde anerkannt und steht nicht mehr zur Diskussion. Offen wäre damit die Frage des Unterhalts für das Kind, in Anbetracht des Zivilstandes aber nicht jener der Mutter. Die Vormundschaftsbehörde hat seit einem Jahr den Job, den Unterhaltsbeitrag des Vaters für das Kind festzulegen.
Nun würde sich die Frage stellen, ob die Vormundschaftsbehörde den zu Unterhaltszahlungen zu verpflichtenden aufgefordert hat, seine Einkommens- und Vermögensverhältnisse offenzulegen - oder aber ob die Vormundschaftsbehörde diese trotz Aufforderung nicht bekommen hat und tatsächlich eine Klage vor Gericht eingericht hat. Das wären zwei verschiedene Dinge.
In beiden Fällen erstaunt mich die Forderung auf Zustellung Deiner Steuerunterlagen (sowie wahrscheinlich Mietvertrag, KK-Policen etc.) etwas, zumal es entweder Aufgabe der VB oder des Gerichtes wäre, die Berechnung vorzunehmen. So wie ich es aus Deinem Beitrag einschätze, seid ihr kaum in der Situation, der VB eine gemeinsame, aussergerichtliche Vereinbarung über die Unterhaltszahlungen vorzulegen.

Kurz und bündig: Aus Deinen Äusserungen habe ich den Eindruck, dass es dringend an der Zeit wäre, den ganzen Papierstapel zu packen und damit zu einer neutralen Beratungsstelle zu gehen um das Ganze hinsichtlich der bisherigen Vorgehensweise und dem weiteren Vorgehen prüfen zu lassen. Selbst wenn die Vaterschaft nämlich ungeklärt wäre, könnte vorsorglich dem Kind eine Unterhaltszahlung zugesprochen werden und es sollte aus meiner persönlichen sicht nicht sein, dass ein Kind "finanziell im Regen steht".